Fondamenti di Meccanica classica – Pagina 260 – Punto 4

DOMANDA – Ho un dubbio sul momento d’inerzia rispetto all’asse geometrico, in quanto, sapendo che J (momento d’inerzia del cilindro pieno) è (1/2)MR2, e J del cilindro cavo omogeneo è 1/2M(r2+R2)… a logica mi verrebbe da dire il contrario, cioè se so che il momento d’inerzia è la somma di tutti gli infinitesimi termini mr2 , mi verrebbe da dire che se tolgo massa (caso cilindro concavo) il mio momento d’inerzia dovrebbe diminuire… e invece sembra aumentare… Cioè come le ruote delle bici… se fossero un pezzo unico di alluminio il momento d’inerzia sarebbe maggiore, invece avendo i raggi (massa minore a parità di raggio), momento d’inerzia minore. Non capisco dove sta l’errore.

RISPOSTA – Il momento d’inerzia del cilindro cavo è proporzionale alla massa e alla somma R2 + r2. Se la massa deve restare costante, occorre che insieme a r (raggio interno) cresca anche R (raggio esterno), e questo comporta intuitivamente un aumento del momento d’inerzia: aumentare infatti da r a r’ il raggio della cavità a parità di massa significa spostare all’esterno (e quindi allontanare dall’asse z del cilindro) la massa avente da z distanza inferiore a r’. Provi per esempio a confrontare il caso r = 0 col caso
r = R/2. Di quanto aumenta, a parità di massa, il momento d’inerzia?

DOMANDA – Se r = 0 sarà J1 = (1/2)MR2. Se r = R/2 sarà J2 = (1/2)M(R2/4+R2) = (5/8)MR2.
Aumento del momento d’inerzia del cilindro J2-J1 =(1/8)MR2… è corretto??
Mi ero perso il passaggio che le masse M indicate fossero uguali… adesso sì che ha senso…

RISPOSTA – Guardi che non può imporre che la massa M resti uguale senza aumentare (a pari altezza del cilindro) il raggio esterno R… Ecco la soluzione.
(a) Dovendo essere uguali i due volumi sarà πR22 – πr2 = πR12, e cioè
R22 = R12 + r2 = R12 + R12/4 = 5R12/4, da cui R2 = 1,19 R1.
(b) J1 = (M/2) R12,   J2 = (M/2) (R22 + r2) = (M/2) (5R12/4 + R12/4) = (M/2) 3R12/2 =
= 3J1/2 = 1,5 J1.

 

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